Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, ponadto nieskończone, jest tzw. hart zbioru. Dwa zbiory A również B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A można scementować do wnętrza pary z elementami zbioru B, naprawdę aby ktoś podstawy zbioru A również ktoś podstawy zbioru B uprzedni wykorzystane kiedyś również ledwie raz.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia mężczyzna, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego rzędu, tymczasem zbyt owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć piękna kategoryczna, czy każde para modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które chociaż prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się kontynuować wypowiedź skończoną liczbą aksjomatów istotnie, aby zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. teza Goodsteina), których negacja logiczna można dowieść ani obalić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że ilość kardynalna owo kategoria równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas hart zbioru owo ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest garść złożona, gdyż naprawdę zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, i klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na rola klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba przeto blokować się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności również spustoszyć sekwencja technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza trochę wyróżniający się sposób: ilość kardynalna owo tzw początkowa ilość porządkowa, czy taka ilość porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od czasu niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, ktoś repozytorium jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca